Học tốt bất đẳng thức không quá khó

Bất đẳng thức là dạng Toán khó mà rất nhiều học sinh ngán ngẩm mỗi khi đụng vào. Nó thường là câu để phân loại các thí sinh các trong đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng từ xưa tới giờ.

Dù kiến thức lý thuyết không nhiều, có thể nói là ít, nhưng đây là một dạng toán thiên biến vạn hóa, đòi hỏi học sinh phải có tư duy toán học tốt và nó cũng rèn giũa về tư duy cho chúng ta khi nghiên cứu về dạng toán này.

Bất đẳng thức dù là một phần khó nhưng các em đừng ngại, hãy học với tất cả đam mê và khát khao chinh phục, chắc chắn các em sẽ thành công. Hơn nữa khi học phần này, các em sẽ tìm được hứng thú thực sự với môn toán và niềm đam mê với những môn học khác.

Vậy làm thế nào để có thể học tốt được  Bất đẳng thức? Toán cấp 3 xin chia sẻ một số lời khuyên nhằm giúp các em có thể học tốt dạng toán này.

Trước hết chúng ta sẽ nhắc lại đôi chút các khái niệm về Bất đẳng thức:

– Bất đẳng thức thực chất là một dạng toán mà ta phải làm với các giá trị hay đại lượng không bằng nhau.

– Ta thường gặp phải hai dạng của bất đẳng thức. Đó là chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hay hàm số.

– Ngoài ra, chúng ta cũng hay gặp phải một số dạng bài tập liên quan đến Bất đẳng thức như giải Bất phương trình, hệ Bất phương trình, đó đều là những dạng bài tập đòi hỏi ta phải vận dụng khéo léo kiến thức của mình về lĩnh vực Bất đẳng thức.

Đôi khi gặp một số bài tập về Phương trình, hệ phương trình chúng ta cũng có thể dùng Bất đẳng thức để tìm ra lời giải.

Dạng toán này thực chất các em đã được tiếp xúc từ lớp 8, và lên cấp 3 dạng toán bắt đầu phức tạp hơn với nhiều dạng bài đa dạng và rất hay.

Toán cấp 3 đưa ra các phương pháp để học tốt Bất đẳng thức:

– Bất đẳng thức và Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều nét tư duy tương đồng, vì thế sẽ rất thuận lợi khi học Bất đẳng thức cho các bạn đã thành thạo Phân tích đa thức thành nhân tử.

– Để có thể học tốt một môn học, những viên gạch nền móng kiến thức là không thể thiếu, chúng ta cần học thuộc, hiểu và biết cách vận dụng các Bất đẳng thức cơ bản ( Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, Bất đẳng thức Côsi, Bất đẳng thức BunhiaCopski ).

Ví dụ chứng minh bất đẳng thức mà các em cần luyện tập.

– Cần luyện tập các bất đẳng thức cơ bản trước rồi hãy tìm hiểu thêm các bài tập nâng cao. Đừng lo sợ hay ngần ngại, hãy vận dụng tất cả mọi phương pháp và cách giải toán các em có cùng sự sáng tạo trong tư duy toán học của mình thử xem.

– Nếu gặp bài khó đã nghĩ nhiều lần rồi mà vẫn chưa giải được, các em hãy tham khảo lời giải trong sách. Cần phải làm lại nhiều lần các bài tập bất đẳng thức khó cho quen tay và quen dạng và để tư duy toán học của ta hòa nhịp cùng những dạng toán đó.

– Các em nên tổ chức học nhóm, cùng nhau thảo luận bàn bạc để tìm ra lời giải một cách hay nhất cho bài toán, sau đó cùng nhau hỏi ý kiến thầy cô là một cách học hay và hợp lý nhất đối với các em. Nếu học một mình đòi hỏi các em phải có sự tập trung cao độ với quyết tâm chinh phục và khát khao chiến thắng cùng niềm đam mê thực sự đối với môn học, nhất định các em sẽ thành công!

Ngoài ra, nên luyện tập giải bất đẳng thức từ khi mới học Toán, như thế sẽ tạo cho mình thói quen giải bất đẳng thức, việc tiếp xúc với bất đẳng thức từ sớm rất có lợi cho sau này.

Các em nên xem thêm: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức từ website Toán cấp 3. Trong đó có rất nhiều tài liệu hay về chuyên đề bất đẳng thức để các em tham khảo và luyện tập.

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT quốc gia 2017

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT quốc gia 2017 mà Toán cấp 3 giới thiệu với các em chia làm các phần sau: Đại số, Lượng giác, Đạo hàm, tích phân, hình học, nhị thức Newton

Nhằm giúp các em học sinh học tốt môn Toán lớp 12, Toán cấp 3 đã tổng hợp và sưu tầm lại bộ công thức Toán 12 này. Công thức là sườn để các em ghi nhớ và áp dụng vào các bài toán từ dễ tới khó. Giúp các em có thể đạt được kết quả tốt trong kì thi THPT quốc gia 2017 sắp tới, tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng trong cả nước.

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT quốc gia 2017:

1. Phần 1: Đại số

Các kiến thức bao gồm: Tam thức bậc 2, Bất đẳng thức Cauchy, Cấp số cộng, Cấp số nhân, Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối, Phương trình, bất phương trình chứa căn, Phương trình, bất phương trình logarit, Phương trình, bất phương trình mũ, Lũy thừa và Logarit

2. Phần 2: Lượng giác

Các kiến thức bao gồm: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác, Hệ thức lượng trong tam giác

3. Phần 3: Đạo hàm

Bảng các nguyên hàm, Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay, Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, Phương pháp tọa độ trong không gian, Nhị thức Newton

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT quốc gia 2017

Phương pháp học toán cấp 3 online mới mà vô cùng hiệu quả

“Học toán cấp 3 online” có lẽ đã là cụm từ thi thoảng xuất hiện trong đầu các quý vị phụ huynh và các em học sinh.

Nhưng dường như, việc sử dụng máy tính để học Toán – một môn học quan trọng của kỳ thi Đại học vẫn còn là điều e ngại. Toancap3.com  trân trọng giới thiệu và giải thích rõ những lợi ích vô cùng đặc biệt của việc Học toán cấp 3 online tới các vị phụ huynh và các em học sinh.
Quý phụ huynh và các em có thể tưởng tượng dễ dàng về định nghĩa này. Nếu như đi học trên lớp, các thầy cô giao bài tập trực tiếp, giảng bài cũng trực tiếp thì Học toán cấp 3 online là việc các em có một tài khoản trên trang học online, đăng nhập vào học, các thầy cô cũng sẽ giảng bài trực tuyến và giao bài tập cho các em.

Các bất đẳng thức quan trọng thường dùng trong giải toán

Bất đẳng thức luôn là câu để chọn ra học sinh giỏi, xuất sắc trong cấu trúc thi đại học. Vì thế các em cần luyện tập dạng Toán này một cách thuần thục.

Năm học này cũng không ngoại lệ. Do đó, chúng tôi giới thiệu đến tất cả quý bạn đọc cũng như các em luyện thi kỳ thi  THPT Quốc Gia năm nay tài liệu Các bất đẳng thức quan trọng, thường dùng trong Toán cấp 3 . Đây là tập hợp những phương pháp thường dùng khi biến đổi và chứng minh một bất đẳng thức.

Tất cả các phương pháp này đều được trình bày cụ thể và có  hướng dẫn giải chi tiết. Những phương pháp các em thường gặp như: Phương pháp biến đổi tương đương, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Chebyshev. Và các phương pháp chứng minh quy nạp, phương pháp biến đổi tương đương,  phương pháp dồn biến, phương pháp chứng minh bắc cầu, ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức… đều có trong tài liệu này

Giới thiệu sơ qua về bất đẳng thức Chebyshev

Khi học về bất đẳng thức, điều đầu tiên, mang đến một cái nhìn đẹp đẽ, quyến rũ và mộng mơ trong ta, đó chính là các bất đẳng thức cổ điển. 

Ai mà không từng say sưa với Cosi trọng số, lãng mạn với cách nhóm Bunhiacopxki hay miệt mài cùng Svac thì người đó hẳn chưa mang hết con tim mình đặt vào bất đẳng thức! Nhưng trong số muôn vàn bất đẳng thức cổ điển tuyệt vời ấy, có một đứa con chiên như bị hắt hủi, bỏ rơi, một nét đẹp cổ điển ít ngừơi chú ý đến.

Đó chính là bất đẳng thức Chebysev. Chúng ta hãy cùng tìm và khai phá một nét đẹp bị lãng quên này nào!
Dưới đây là một vài dạng cơ bản của bất đẳng thức Chebysev:

Bất đẳng thức Garfunkel và một số mở rộng

Giới thiệu về bất đẳng thức Garfunkel với một số cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp này.

Tiếp theo là mở rộng bất đẳng thức Garfunkel theo nhiều hướng khác nhau với từng mục, có bài tập ví dụ minh họa dễ hiểu.

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng Toán cấp 3

Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng trong chương trình Toán cấp 3. Các cách chứng minh bất đẳng thức hay, có ví dụ minh họa.

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức gồm có:

1. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

2. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương

3. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức phụ

4. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cosi

5. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki

6. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Trê bư sép

7. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Brnouli

8.  Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất bắc cầu

9. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng dùng tính chất của tỉ số

10. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội

11. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng bất đẳng thức trong tam giác

12. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng hình học và tọa độ

13. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách đổi biến số

14. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tam thức bậc 2

15. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp toán học

16. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng chứng minh phản chứng

17. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng biến đổi lượng giác

18. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton

19. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tích phân

Dưới đây là chi tiết của các phương pháp trình bày ở trên.

Nguồn bài viết: Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng

Câu chuyện nhỏ về một bất đẳng thức

Câu chuyện nhỏ về một bất đẳng thức là những gì mà tác giả Trần Nam Dũng nhớ lại về kỳ thi Olympic 30/4 tổ chức tại THPT chuyên Lê Hồng Phong thành phố Hố Chí Minh.

Năm 1996, hồi đó tôi mới về nước chưa được một năm. Kỳ thi Olympic 30/4 tổ chức tại trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Tp HCM. Thầy Thái Minh Đường nói tôi gửi một số đề cho BTC kỳ thi và trong số các bài toán thi cho lớp 10 có bài toán do tôi đề xuất được chọn. Đó là bài toán:

Xem thêm ở tài liệu bên dưới.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi và Bunhiacopxki

Chứng minh bất đẳng thức Cosi và Bunhiacopxki một cách tổng quát.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp toán học

Ví dụ: Chứng minh rằng $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Giải:

Hiển nhiên mệnh đề dúng với n = 2

Giả sử mệnh đề đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Giả sử $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{k}\leq a_{k+1} thì a_{k+1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}$

Đặt $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}=x$ thì $x\geq 0$, ta có $a_{k+1} = x+y$ với $y\geq0$ và

$x^{k}\geq a_{1}a_{2}...a_{k}$ (do giả thiết quy nạp).

Ta có:

$\left ( \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \right )^{k+1}$=$\left ( \frac{kx+x+y}{k+1} \right )^{k+1}$=$\left ( x+\frac{y}{k+1} \right )^{k+1}\geq x^{k+1}+(k+1).\frac{y}{k+1}.x^{k}$=$x^{k+1}+x^{k}y$=$k^{k}(x+y)\geq a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}$

Suy ra  $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1}\geq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}=a_{2}=...a_{n}$

Hướng dẫn giải bài tập bất đẳng thức qua các đề thi đại học

Từ trước tới nay, bất đằng thức luôn là bài toán khó trong các đề thi tuyển sinh vào đại học ở môn Toán.

Chính bởi nó khó như vậy nên thường là câu cuối cùng của các đề thi, nó được cho 1 điểm quý báu. Sau đây là Hướng dẫn giải các bài tập bất đẳng thức qua các đề thi đại học.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Ví dụ 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng
                                           
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\leq 2$

Cách giải:

Đặt $\sqrt[3]{a}=m$; $\sqrt[3]{b}=n$. Ta có $m^{3}+n^{3}\leq 2$

Cần chứng minh $m+n\leq 2$

Giả sử m + n > 2 thì
$(m+n)^{3}>8\Rightarrow m^{3}+n^{3}+3mn(m+n)>8\Rightarrow 2+3mn(m+n)>8\Rightarrow$

$mn(m+n)>2\Rightarrow mn(m+n)>m^{3}+n^{3}$

Chia hai vế cho số dương m + n ta có
         
 $mn>m^{2}-mn+n^{2}\Rightarrow 0>(m-n)^{2}$    (vô lí)

Vậy $m+n\leq 2$ (đpcm)

Chứng minh bất đẳng thức nhờ sử dụng các bất đẳng thức đã biết

Chứng minh bất đẳng thức nhờ sử dụng các bất đẳng thức đã biết: Bất đẳng thức Cosi, Bất đẳng thức Bunhiacopxki

1. Tổng của hai số nghịch đảo nhau

                          $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ với x, y là hai số cùng dấu

2. Bất đẳng thức Cosi 

Cho a, b, c là các số không âm. Khi đó:
                                             $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

                                             $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Tổng quát: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc trung bình nhân của chúng

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$

với $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ là các số không âm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a_{1}= a_{2}=...= a_{n}$

3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 

 Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z. Khi đó:
                                      $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}$

                                 $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (ã+by+cz)^{2}$

Tổng quát: Có hai bộ n số: $(a_{1}, a_{2},..., a_{n}) và (b_{1}, b_{2},..., b_{n})$.Tích của tổng

các bình phương n số của bộ số này và tổng các bình phương n số của bộ số kia lớn hơn hoặc bằng

bình phương của tổng n tích hai số tương ứng của hai bộ số đó.

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq$

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}+b_{n})^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a_{1},a_{2},...,a_{n}) và  (b_{1},b_{2},...,b_{n})$ là hai bộ số tỉ

lệ với nhau tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy

ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.

Chứng minh:

Đặt:

A = $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$,

B = $b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}$,

C = $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}$.

Cần chứng minh AB$\geq C^{2}$

Nếu A = 0 thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$, bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do

đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

Với mọi x ta có:

$(a_{1}x-b_{1})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{1}^{2}x^{2}-2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}\geq 0$

$(a_{2}x-b_{2})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{2}^{2}x^{2}-2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}\geq 0$
...
$(a_{n}x-b_{n})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{n}^{2}x^{2}-2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}\geq 0$

Cộng từng vế n bất đẳng thức trên được

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq 0$

tức là                                               $Ax^{2}-2Cx+B\geq 0$                               (1)

Vì (1) đúng với mọi x nên thay x=\frac{C}{A}vào (1) ta được

 $A.\frac{C^{2}}{A^{2}}-2.\frac{C^{2}}{A}+B\geq 0\Rightarrow B-\frac{C^{2}}{A}\geq 0\Rightarrow AB-C^{2}\geq 0\Rightarrow AB\geq C$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}x=b_{1},a_{2}x=b_{2},...,a_{n}x=b_{n}$ tức là

$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu

bằng 0 thì tử phải bằng 0

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
                                 
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Cách giải:

Cách 1: Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
             
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2.\frac{a}{2}=a$

Suy ra  $\frac{a^{2}}{b+c}\geq a-\frac{b+c}{4}$

Tương tự $\frac{b^{2}}{a+c}\geq b-\frac{a+c}{4}; \frac{c^{2}}{a+b}\geq c-\frac{a+b}{4}$

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được

 $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq (a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$\left [ \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right )^{2} + \left (\frac{b}{\sqrt{a+c}} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{\sqrt{a+b}} \right )^{2}\right ].[(\sqrt{b+c})^{2}+(\sqrt{a+c})^{2}+(\sqrt{a+b})^{2}]$

$\geq \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}.\sqrt{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b} \right )^{2}$

$\Rightarrow \left ( \frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\right )[2(a+b+c)]\geq (a+b+c)^{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

b) $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

Cách giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

                              $\sqrt{a+1}=\sqrt{1(a+1)}\leq \frac{(a+1)+1}{2}=\frac{a}{2}+1$

Tương tự :  $\sqrt{b+1} \leq \frac{b}{2}+1; \sqrt{c+1} \leq \frac{c}{2}+1$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được
     
$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\leq\frac{a+b+c}{2}+3=3,5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1 $\Leftrightarrow$  a = b = c = 0, Trái với giả thiết a + b + c = 1

Vậy $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}\leq 3(a+b+b+c+c+a)$=3.2=6

$\Rightarrow \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội làm giảm

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội làm giảm

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$

                  $2\sqrt{n}-3<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$

Giải:

Đặt A=$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

a) Chứng minh A > $2\sqrt{n}-3$ bằng cách làm giảm mỗi số hạng của A

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$=

= $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$   với mọi k $\in$ N*

Do đó: A>$2[(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+...+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})]$=

= $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3>2\sqrt{n}-3$

b) Chứng minh A<2\sqrt{n}-2 bằng cách làm trội mỗi số hạng của A

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$   với mọi k $\in$ N*

Do đó: A<$2[(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]+...+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{1})=2(\sqrt{n}-\sqrt{1})=2\sqrt{n}-2$

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Hôm nay chúng ta sẽ dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh các bất đẳng thức đơn giản.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng bất đẳng thức đúng:

     $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\sqrt{\frac{a+b}{2}}$     với a>0;b>0; $a\neq b$      (1)

Giải:

(1) $\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}<\frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}<2a+2b$

$0<(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$                     (2)

Do $a\neq b$ nên bất đẳng thức (2) đúng, vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức

        $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$                       (1)

Giải:

(1) $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+c^{2}+2ac+b^{2}+d^{2}+2bd$

$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd$

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

Nếu $ac+bd\geq 0$ thì (2) tương đương
                     
$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$
                     
$(ad-bc)^{2}\geq 0$                 (3)

Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Bài tập bất đẳng thức số 2

Chứng minh bất đẳng thức số 2 bằng phép biến đổi tương đương.

Với $ab \ge 1$ ta luôn có:
$\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}$

Chứng minh bằng cách dùng phép biến đổi tương đương:

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0 \end{array}$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài tập bất đẳng thức số 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào giải bất đẳng thức sau đây.

Chứng minh rằng: Với a,b,c>0 và $abc \le 1$ thì ta luôn có:
$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \ge a + b + c$

Chứng minh bất đẳng thức:

Ta có: $abc \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{bc}} \ge a$
Theo bất đẳng thức mở rộng Cosi ta có:
$\dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{a^2}}}{{bc}}}} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}.a}} = 3a{\rm{ }}$ (1)

Tương tự ta cũng có được:
$\dfrac{{2b}}{a} + \dfrac{a}{c} \ge 3b{\rm{ }} (2);\dfrac{{2c}}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 3c{\rm{ }}$ (3)

Từ (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh.

Khái niệm cơ bản về bất đẳng thức

Khái niệm cơ bản về bất đẳng thức, bài toán bất đẳng thức thường gặp, tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.

1. Khái niệm bất đẳng thức

Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.

- Ký hiệu  a<b  có nghĩa là a nhỏ hơn b
- Ký hiệu  a > b có nghĩa là a lớn hơn b

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có các bất đẳng thức không ngặt :
- a $ \displaystyle \le $ b có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b
- a $ \displaystyle \ge $ b có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.

Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác.

Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.

Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.

- Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện.
- Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện.
- Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương.
- Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.

2. Bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức

1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.
3. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến.

3. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Ta nói: bất đẳng thức a < c là hệ quả của bất đẳng thức a < b và b < c. Vì:

   Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).

   Ta nói: bất đẳng thức a + c < b + c là hệ quả của bất đẳng thức a < b với c tùy ý.
Vì: Nếu a < b thì a + c < b + c với c tùy ý (tính chất cộng của hai vế bất đẳng thức với một số).

   Tổng quát, ta có định nghĩa:
- Nếu mệnh đề "a<b => c<d " đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b
- Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c<d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a<b <=> c<d

4. Tính chất của bất đẳng thức

- Với mọi số thực a, b, c:

Nếu a > b và b > c thì a > c

Nếu a < b và b < c thì a < c

- Với mọi số thực a, b và c:

Nếu a > b thì a + c > b + c và a – c > b – c

Nếu a < b thì a + c < b + c và a – c < b – c

- Với mọi số thực a, b và c:

Nếu c là một số dương và a > b thì a × c > b × c và a/c > b/c

 Nếu c là một số dương và a < b thì a × c < b × c và a/c < b/c

Nếu c là một số âm và a > b thì a × c < b × c và a/c < b/c Nếu c là một số âm và a < b thì a × c > b × c và a/c > b/c

5. Kí hiệu ghép nối trong bất đẳng thức

$ \displaystyle {{a}_{1}}$ ≤$ \displaystyle {{a}_{2}}$ ≤…≤$ \displaystyle {{a}_{n}}$  trong đó $ \displaystyle {{a}_{i}}$≤$ \displaystyle {{a}_{i+1}}$ với i = 1,2,…,n-1.