Các bất đẳng thức quan trọng thường dùng trong giải toán

Bất đẳng thức luôn là câu để chọn ra học sinh giỏi, xuất sắc trong cấu trúc thi đại học. Vì thế các em cần luyện tập dạng Toán này một cách thuần thục.

Năm học này cũng không ngoại lệ. Do đó, chúng tôi giới thiệu đến tất cả quý bạn đọc cũng như các em luyện thi kỳ thi  THPT Quốc Gia năm nay tài liệu Các bất đẳng thức quan trọng, thường dùng trong Toán cấp 3 . Đây là tập hợp những phương pháp thường dùng khi biến đổi và chứng minh một bất đẳng thức.

Tất cả các phương pháp này đều được trình bày cụ thể và có  hướng dẫn giải chi tiết. Những phương pháp các em thường gặp như: Phương pháp biến đổi tương đương, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Chebyshev. Và các phương pháp chứng minh quy nạp, phương pháp biến đổi tương đương,  phương pháp dồn biến, phương pháp chứng minh bắc cầu, ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức… đều có trong tài liệu này

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp toán học

Ví dụ: Chứng minh rằng $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Giải:

Hiển nhiên mệnh đề dúng với n = 2

Giả sử mệnh đề đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Giả sử $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{k}\leq a_{k+1} thì a_{k+1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}$

Đặt $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}=x$ thì $x\geq 0$, ta có $a_{k+1} = x+y$ với $y\geq0$ và

$x^{k}\geq a_{1}a_{2}...a_{k}$ (do giả thiết quy nạp).

Ta có:

$\left ( \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \right )^{k+1}$=$\left ( \frac{kx+x+y}{k+1} \right )^{k+1}$=$\left ( x+\frac{y}{k+1} \right )^{k+1}\geq x^{k+1}+(k+1).\frac{y}{k+1}.x^{k}$=$x^{k+1}+x^{k}y$=$k^{k}(x+y)\geq a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}$

Suy ra  $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1}\geq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}=a_{2}=...a_{n}$