Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
Ví dụ 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\leq 2$
Cách giải:
Đặt $\sqrt[3]{a}=m$; $\sqrt[3]{b}=n$. Ta có $m^{3}+n^{3}\leq 2$
Cần chứng minh $m+n\leq 2$
Giả sử m + n > 2 thì
$(m+n)^{3}>8\Rightarrow m^{3}+n^{3}+3mn(m+n)>8\Rightarrow 2+3mn(m+n)>8\Rightarrow$
$mn(m+n)>2\Rightarrow mn(m+n)>m^{3}+n^{3}$
Chia hai vế cho số dương m + n ta có
$mn>m^{2}-mn+n^{2}\Rightarrow 0>(m-n)^{2}$ (vô lí)
Vậy $m+n\leq 2$ (đpcm)
