Bài tập bất đẳng thức số 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào giải bất đẳng thức sau đây.

Chứng minh rằng: Với a,b,c>0 và $abc \le 1$ thì ta luôn có:
$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \ge a + b + c$

Chứng minh bất đẳng thức:

Ta có: $abc \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{bc}} \ge a$
Theo bất đẳng thức mở rộng Cosi ta có:
$\dfrac{{2a}}{c} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{b} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{a^2}}}{{bc}}}} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}.a}} = 3a{\rm{ }}$ (1)

Tương tự ta cũng có được:
$\dfrac{{2b}}{a} + \dfrac{a}{c} \ge 3b{\rm{ }} (2);\dfrac{{2c}}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 3c{\rm{ }}$ (3)

Từ (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh.