Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội làm giảm
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$$2\sqrt{n}-3<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$
Giải:
Đặt A=$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$
a) Chứng minh A > $2\sqrt{n}-3$ bằng cách làm giảm mỗi số hạng của A
$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$== $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ với mọi k $\in$ N*
Do đó: A>$2[(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+...+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})]$=
= $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3>2\sqrt{n}-3$
b) Chứng minh A<2\sqrt{n}-2 bằng cách làm trội mỗi số hạng của A
$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ với mọi k $\in$ N*Do đó: A<$2[(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]+...+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{1})=2(\sqrt{n}-\sqrt{1})=2\sqrt{n}-2$
