Bài tập bất đẳng thức số 2

Chứng minh bất đẳng thức số 2 bằng phép biến đổi tương đương.

Với $ab \ge 1$ ta luôn có:
$\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}$

Chứng minh bằng cách dùng phép biến đổi tương đương:

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0 \end{array}$

Ta có điều phải chứng minh.