Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Hôm nay chúng ta sẽ dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh các bất đẳng thức đơn giản.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng bất đẳng thức đúng:

     $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\sqrt{\frac{a+b}{2}}$     với a>0;b>0; $a\neq b$      (1)

Giải:

(1) $\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}<\frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}<2a+2b$

$0<(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$                     (2)

Do $a\neq b$ nên bất đẳng thức (2) đúng, vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức

        $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$                       (1)

Giải:

(1) $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+c^{2}+2ac+b^{2}+d^{2}+2bd$

$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd$

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

Nếu $ac+bd\geq 0$ thì (2) tương đương
                     
$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$
                     
$(ad-bc)^{2}\geq 0$                 (3)

Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.