Lý thuyết, Bài tập bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình THCS và các bài bất đẳng thức thường là các bài chốt trong các đề tuyển sinh cấp 3.

Topic này được lập ra nhằm giúp các bạn cùng trao đổi về các bđt trong chương trình THCS.
Các bất đẳng thức sử dụng trong topic này là.

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means):

Với các bộ số

a_{1}; a_{2}; . . .; a_{n}

$a_1;a_2;...;a_n$ không âm ta có:

\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}

$\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Ta có 3 dạng thường gặp của bđt này là.
Dạng 1:

\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}

$\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Dạng 2:

a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} \geq n \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}

${a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Dạng 3:

{(\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n})}^{n} \geq a_{1} a_{2} . . . a_{n}

${\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {a_1}{a_2}...{a_n}$
Dấu "=" xảy ra khi

a_{1} = a_{2} = . . . a_{n}

$a_1=a_2=...a_n$
Đối với bđt này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: Cho

a_{1}; a_{2}; . . . a_{n}; b_{1}; b_{2}; . . . b_{n}

$a_1;a_2;...a_n;b_1;b_2;...b_n$ là 2n số thực tùy ý khi đó
Dạng 1:

(a_{1}^{2} + . . . + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + . . . + b_{n}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + . . . + a_{n} . b_{n})^{2}

$(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)\geq (a_1b_1+...+a_n.b_n)^2$ (1)
Dạng 2:

\sqrt{(a_{1}^{2} + . . . + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + . . . + b_{n}^{2})} \geq | a_{1} b_{1} + . . . + a_{n} . b_{n} |

$\sqrt{(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)}\geq |a_1b_1+...+a_n.b_n|$ (2)
Dạng 3:

\sqrt{(a_{1}^{2} + . . . + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + . . . + b_{n}^{2})} \geq a_{1} b_{1} + . . . + a_{n} . b_{n}

$\sqrt{(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)}\geq a_1b_1+...+a_n.b_n$ (3)
Dấu "=" xảy ra ở (1)(2)

\Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}}

$\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}=...=\frac{a_n}{b_n}$
Dấu "=" xảy ra ở (3)

\Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}} \geq 0

$\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}=...=\frac{a_n}{b_n}\geq 0$
Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz

Cho

a_{1}; a_{2}; . . .; a_{n}

$a_1;a_2;...;a_n$ ;

b_{1}; b_{2}; . . . b_{n}

$b_1;b_2;...b_n$ là các số

> 0

$>0$
Ta có:

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}} + . . . + \frac{x_{n}^{2}}{a_{n}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n})^{2}}{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}

$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$
Dấu "=" xảy ra khi

\frac{x_{1}}{a_{1}} = \frac{x_{2}}{a_{2}} . . . = \frac{x_{n}}{a_{n}}

$\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}...=\frac{x_n}{a_n}$

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát
Nếu

{\begin{cases} a_{1} \geq a_{2} \geq . . . \geq a_{n} \\ b_{1} \geq b_{2} \geq . . . \geq b_{n} \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{l} a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n \\ b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \\ \end{array} \right.$
Hoặc

{\begin{cases} a_{1} \leq a_{2} \leq . . . \leq a_{n} \\ b_{1} \leq b_{2} \leq . . . \geq b_{n} \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{l} a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \\ b_1 \le b_2 \le ... \ge b_n \\ \end{array} \right.$
Dạng 1:

\frac{a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} + . . . + a_{n} . b_{n}}{n} \geq \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} . \frac{b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}}{n}

$\frac{a_1.b_1+a_2.b_2+...+a_n.b_n}{n}\geq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$
Dạng 2:

n (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{n} b_{n}) \geq (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n})

$n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$
Nếu

{\begin{cases} a_{1} \leq a_{2} \leq . . . \leq a_{n} \\ b_{1} \geq b_{2} \geq . . . \geq b_{n} \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{l} a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \\ b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \\ \end{array} \right.$
hoặc

{\begin{cases} a_{1} \geq a_{2} \geq . . . \geq a_{n} \\ b_{1} \leq b_{2} \leq . . . \leq b_{n} \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{l} a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n \\ b_1 \le b_2 \le ... \le b_n \\ \end{array} \right.$
Dạng 1:

\frac{a_{1} . b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{n} . b_{n}}{n} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} . \frac{b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}}{n}

$\frac{a_1.b_1+a_2b_2+...+a_n.b_n}{n}\leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$
Dạng 2:

n (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{n} b_{n}) \leq (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n})

$n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\leq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$
Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệu
Bất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các số.

4. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

x > - 1

$x>-1$ ;

r \geq 1 \lor r \leq 0 \Rightarrow (1 + x)^{r} \geq 1 + r x

$r\geq 1\vee r\leq 0\Rightarrow (1+x)^r\geq 1+rx$
Nếu

1 > r > 0

$1>r>0$ thì

(1 + x)^{r} \leq 1 + r x

$(1+x)^r\leq 1+rx$
Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

5. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây mình chỉ nêu dạng thường dùng
Với x,y,z là các số thực

> 0

$>0$
Bất đẳng thức Netbitt 3 biến

\frac{x}{y + z} + \frac{z}{x + y} + \frac{y}{x + z} \geq \frac{3}{2}

$\frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0
BĐT Netbitt 4 biến

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{d + c} + \frac{c}{d + a} + \frac{d}{a + b} \geq 2

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d>0

6. Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means - Hamonic Means)

Nếu

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}

$a_1,a_2,...,a_n$ là những số thực dương thì

\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}

$\frac{{a_1 + a_2 + ... + a_n }}{n} \ge \frac{n}{{\frac{1}{{a_1 }} + \frac{1}{{a_2 }} + ... + \frac{1}{{a_n }}}}$
Dấu "=" xảy ra khi

a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n}

$a_1=a_2=...=a_n$

7. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp
Cho a,b,c là những số không âm

(a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) \leq a b c

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

a^{r} (a - b) (a - c) + b^{r} (b - a) (b - c) + c^{r} (c - a) (c - b) \geq 0

$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq 0$ với r là số thực dương
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị

8. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

| x + y | \leq | x | + | y |

$|x+y|\leq |x|+|y|$
Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay

x y \geq 0

$xy\geq 0$
Với mọi số thực x,y ta có

| x - y | \geq | x | - | y |

$|x-y|\geq |x|-|y|$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

y (x - y) \geq 0

$y(x-y)\geq 0$

9. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{m}

$a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và

b_{1}, b_{2}, . . ., b_{m}

$b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
Dạng 1:

\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + . . . + \sqrt{a_{m}^{2} + b_{m}^{2}} \geq \sqrt{(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{m})^{2} + (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{m})^{2}}

$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{m})^{2}}$
Dạng 2: Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có

\sqrt[3]{a b c} + \sqrt[3]{x y z} \leq \sqrt[3]{(a + x) (b + y) (c + z)}

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

\sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}

$\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\leq \sqrt{(a+b)(c+d)}$
Những lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.
2. Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển , quy nạp,phản chứng,...
3.Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu "=" xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu "=" có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,...
4. Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng.
______________

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số thực duong thỏa

a b + b c + a c = 3

$ab+bc+ac=3$
CMR:

\frac{a}{2 a^{2} + b c} + \frac{b}{2 b^{2} + a c} + \frac{c}{2 c^{2} + b a} \geq a b c

$\dfrac{a}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{b}{{2b^2 + ac}} + \dfrac{c}{{2c^2 + ba}} \ge abc$
Bài 2:Cho a,b,c,d là các số thực thỏa:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$
CMR:

(1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) \geq a b c d

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$
Bài 3: Cho x,y,z > 0
CMR:

\frac{2 \sqrt{x}}{x^{3} + y^{2}} + \frac{2 \sqrt{y}}{x^{3} + z^{2}} + \frac{2 \sqrt{z}}{z^{3} + x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}

$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{x^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leq \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$